POCETNA STRANA

 
SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
 
OSTALI SEMINARSKI RADOVI IZ MATEMATIKE:
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Istorija matematike kroz razvoj broja π

Najverovatnije da ni jedan simbol u matematici nije izazvao toliko znatiželje i čuđenja kao broj π Grcko slovo p koristi se u matematici kao simbol kojim obelezavamo odnos izmedju obima kruga i njegovog precnika. Ako pogledamo unazad, kroz vekove, tesko je odrediti granicu od koje počinje pominjanje ove konstante. Činjenica da je odnos obima kruga i prečnika kruga konstantan bila je poznata toliko dugo da je to nemoguće pratiti. Medjutim , jedno je sigurno, toliko angazovanja, truda, enrgije i volje , gotovo da nijedan matematicki ‘problem’ (izum) nije izmamio iz ljudi. Ovom ‘misterijom’ bavili su se svi veći umovi , ona je učestvovala u izgradnji istorije matematike, od vremena starih Grka i pre, pa sve do danasnjih dana, kada je pojava računara bacila u senu mnoge druge matematičke nedoumice.
Priča o broju p pokazala se kao najprofesionalnija, najozbiljnija strana matematike. Iznenađuje izrazito velik broj potvrdjenih matematickih veličina koje su direktno ili indirektno povezane sa ovim brojem. Tako je vremenom p postao deo ljudske kulture i obrazovane moći. Vreme o kome govorimo meri se sa preko 25 000 godina.
Ako pokušamo da pratimo izračunavanje ovog broja kroz vreme, ustvari ćemo se baviti istorijom matematike.On će nas provesti kroz geometriju, analizu, numeričku analizu, algebru i teoriju brojeva.
Vekovima su matematičari pokušavali da tačno , do poslednje decimale, izračunaju broj p. Sada znamo da taj broj ne moze ‘tačno’ da se izračuna i to ne zbog nemogućnosti današnjih računara već zbog posebne osobine ovog broja. Ali ipak ‘trka za njegovim decimalama’ se nastavlja, čak iako je poznato da sa relativno malo decimala mozemo izračunati obime gigantskih krugova, npr. poluprečnika udaljenost Zemlja-Sunce.I pored novih saznanja o ovom broju, koja su razotkrila sve njegove tajne, senka zaborava nije ga prekrila. Dakle, p jos uvek pleni svojom snagom i kao da prkosi ljudima i vremenu.

BROJ π KROZ VEKOVE

I  sali  more, deset lakata od jedne ivice do druge: to je bilo sa svih strana oko njega, i njegova visina je bila pet lakata: a unaokolo mu bjese 30 lakata.”(I Car 7. 23)

Ovo su manje poznati stihovi, citirani iz Biblije, na osnovu kojih jasno možemo videti da se za vrednost p uzima broj 3. Na listi detaljnih opisa  velikog hrama Solomona, izgrađenog oko 950 godine pre nove ere takođe se pojavljuje p=3. To naravno nije sasvim tačna vrednost i nije čak ni mnogo tačna za vreme u kom je zapisana, jer su u to vreme Egipćani i Mesopotamci vec znali da p ima vrednost od 25/8=3.125 i Ö10= 3.162 . Doduše u odbranu Solomonovim zanatlijama treba primetiti da su pojedini predmeti, koji su opisani, bili takvog oblika da veliki stepen geometrijske preciznosti nije bio moguć, niti neophodan.

     Najranije vrednosti p, ukljućujući “biblijsku” vrednost 3, su skoro sigurno dobijene putem merenja. U Egipatu, u kome su potrebe navodnjavanja i organizovane poljoprivredne proizvodnje bili najveći podsticaj za razvoj matematike, iz sačuvanih papirusa saznajemo da su imali razvijene sisteme za računanja i odgovarajuću simboliku i da su vesto baratali sa razlomcima.
Najpoznatiji sacuvani papirus takozvani  Rhind papyrus, odnosno ‘Rindov papirus’ (prikazan na fotografiji), koji potiče iz otprilike 1650 godine pre nove ere, pokazuje da su Egipćani prilikom računanja površina i zapremina oblih figura koristili za broj p aproksimaciju 4(8/9)2=3.16.
Pisao ga je pisar Ahmes ali on nije bio i autor ovog matematičkog spisa .  Ahmes je napisao: “ Oduzmite 1/9 prečnika a  nad ostatkom konstruišite kvadrat, on će imati istu površinu kao krug.”
U Ahmesovom papirusu za p je izračunata približna vrednost sa greškom na drugoj decimali:
3.1605           

pi_tilnaer1Ahmes je za sobom ostavio svitak dug oko 5 metara
koji predstavlja najstariju matematičku raspravu pronađenu do danas.

   Ovaj spis preuzima stariji papirus pisan oko 2000. godine pne.

   Papirus je otkriven u 19. veku u hramu u kom je sahranjen Ramzes

Staroindijsko delo “Salvasutri” izlaže matematička pravila do kojih se došlo u to vreme. Tu se nalaze neke interesantne aproksimacije pomoću osnovnih razlomaka, kao što je( u našoj simbolici):
p=4*(1- 1/8+1/(8*29)–1/(8*29*6)+1/(8*29*6**))2=18*93-2*Ö2)=3,0888

Euclid of AlexandriaPomenimo rezultate koje su dobili matematičari iz Indije. Baudhajana je uzeo 49/16 kao vrednost p, a Ariabhata (oko 530 godine) 62832/20000 što je jednako 3.1416. On je pokazao da ako je a strana pravilnog poligona od n strana upisanog u krug jediničnog precnika, i b strana pravilnog poligona od 2n strana upisanog u isti krug, tada je b2=1/2-(1/2)*(1-a2) ½. Polazeći od strane upisanog pravilnog sestougaonika, on je našao strane poligona od 12, 24, 48, 96, 192 i 384 strane. Obim poslednjeg je Ö9.8694, odakle je dobijena navedena aproksimacija. Brahmagupta je dao Ö10, što je jednako 3,162277… Do te vrednosti je došao upisujući i opisujući u krug precnika 1 pravilne poligone koji imaju 12, 24, 48 i 96 stranica i zakljucio je da kako bi se broj stranica povećavao tako bi se obim priblizavao Ö10.

Euclid of Alexandria (rođen je oko 325 godine pre nove ere, a umro je oko 265 godine p. n.e. u Aleksandriji, Egipat), čuveni osnivač Aleksandrijske škole, govorio je za krug da je to linija, t.j. “dužina bez širine”. On u svom  XII dokazu ukazuje na postojanje broja p, odnosno kaze:
Odnos kuržnog obima i kuržnog prečnika isti je kod svih krugova.”
Mi pretpostavljamo da je on znao da je p veće od 3 i manje od 4 ali to nije eksplicitno naveo.

      Prve teoretske kalkulacije po svoj prilici napravio je Arhimed sa Sirakuze (287-212 pre n.e.). On je dobio priblizno da je
223/71 < p < 22/7 .
Arhimed sa SirakuzeAko uzmemo aritmrticku sredinu njegovih dveju granica dobićemo 3.1418, dakle grešku od 0.0002.

Pre nego iznesemo kako je Arhimed došao do svog računa, primetićemo da je starim Grcima bilo poznato da se povećavajući broj stranica upisanih i opisanih mnogouglova u i oko datog kruga i izračunavanjem njihovih obima dobijamo vrednosti koje se ‘priblizavaju’ vrednosti obima kruga sa donje, odnosno gornje strane. Arhimed je još znao, ono što mnogi ljudi iz tog vremena nisu, da p nije jednako 22/7, i nije imao dileme da treba otkriti pravu vrednost.

Ovako je glasio Arhimedov argument (dokaz):
Posmatrajmo krug poluprecnika 1, u koji ćemo  upisati pravilan poligon sa  3*2n-1 stranica, sa  poluobimom  bn , i opisani poligon sa 3*2n-1 stranica, sa poluobimom an. Slučaj kad je n=2 nalazi se na fotografiji sa desne strane. Efekat ove procedure je bio formiranje jednog rastućeg niza 
b1, b2, b3, ...
i jednog  opadajućeg
a1, a2, a3, ...
s tim što je za oba niza granica(limes) p.

Koristeći trigonometrijsku notaciju, mozemo videti da su nam poluobimi dati sa
an = K tg(p/K), bn = K sin(p/K),
gde je  K = 3 *2n-1. Isto tako, imamo da je
an+1 = 2K tg(p/2K), bn+1 = 2K sin(p/2K),
i uz vrlo jednostavan trigonometrijski račun mozemo pokazati da je:

  • Arhimed. . . (1/an + 1/bn) = 2/an+1
  • Arhimed. . . an+1bn = (bn+1)2.

Arhimed je počeo od
a1 = 3 tan(p/3) = 33 i
b1 = 3 sin(p/3) = 33/2,
računao je a2 koristeći (1), onda b2 koristeći (2), zatim a3 koristeći (1), potom b3 koristeći (2), i tako sve dok nije izračunao a6 i  b6. Njegov zakljucak je bio b6 < p< a6.
Veoma je vazno naglasiti da je korisćenje trigonometrije ovde vrlo neistorijski, naime Arhimed nije imao pomoć algebarskih i trigonometrijskih notacija i morao je da izvede (1) i (2) čistim geometrijskim sredstvima. Osim toga on čak nije imao pomoć ni od danasnje notacije putem decimalnih brojeva, tako da računanje   a6 i  b6 iz  (1) i  (2) bio je, bez sumnje, totalno netrivijalan zadatak. Dakle, bilo je poprilično izvanredan podvig i za divljenje je, mašta uma koji je sproveo ovaj račun i uopste nije za čudjenje da se on zaustavio na poligonu sa 96 stranica, već se treba zapitati kako je dospeo tako daleko. Prema njegovoj želji na  nadgrobnoj ploči su mu urezana dva geometrijska tela lopta i valjak.
sphere_cylinder      

  

  Arhimed je zaslužan za prve dve decimale broja pi   koje, verovatno,    svi znaju:

                  π≈ 3,14

 Primetićemo kako se zaraza zvana p , protezala od Evrope do Azije kroz milenijume.U Kini , pisac sačuvanih komentara “9 knjiga” Liu Hui  našao je pomoću upisanih i opisanih mnogouglova da je
Tsu Ch’ung Chi3.141024 < p < 3.142704
Dva veka kasnije taj račun je popravio Tsu Ch’ung Chi( rodjen je 430 godine, a umro je 501 godine). Bio je kineski matematičar i astronom. On je dao racionalnu aproksimaciju 355/113 za p koja je tačna do 6 decimalnih mesta. Ovaj razlomak je vrlo zgodan za pamcžćenje: dovoljno je napisati po dva puta prva tri neparna broja 1, 1, 3, 3, 5, 5 zatim uzeti poslednja tri za brojiilac i prva tri za imenilac. On je takodje dokazao
3.1415926<p<3.1415927
Fantastičan rezultat za koji bi bilo lepo da imamo više detalja ali Tsu Ch’ung Chi-eva knjiga, koju je napisao njegov sin, je izgubljena. Nije lako poverovati da je do tog rezultata došao crtanjem dijagrama u krupnoj razmeri. Na osnovu Tsu Ch’ung Chi-eva razlomka zasnovana
A                                                      je sledeca geometrijska konstrukcija:
             1/8                                                Nacrtajmo četvrtinu kruga
             B                                                 jediničnog poluprečnika i na duži                                                                                      D                1/2                             AC postavimo tačku B tako da je 
            7/8                                                 AB=1/8, BC=7/8. Iz tacke D na
duži BG izabrane tako da je 
                C                E   F   G                 DG=1/2 spustimo normalu DE
Sl.Geometrijska konstrukcija                    na CG i konstruisemo duz BE.
broja p na 6 decimala                             
Na kraju povucimo duž DF paralelno sa BE. Može se pokazati da je FG=16/113, ili 0,1415929… Kako je 335/113= 3+ 16/113 , ako na trostruku vrednost poluprečnika kruga dodamo duž FG dobićemo duž čija se dužina razlikuje od p za manje od milionitog dela.

Claudius Ptolemy Claudius Ptolemy rođen je oko 85 godine u Egiptu, a umro je oko 165 godine u Aleksandriji, Egipat. Između ostalih svojih brilijantnih izuma, dobio je, koristeci tetivu kruga i opisani 360-ugao, pribliznu vrednost za p
p= 308’30’’=3+8/60+30/3600=3 17/120 = 3.14167
Ovu vrednost objavio je u svom “Velikom zborniku”, jednom od najvećih dela rimskog aleksandrijskog perioda, koji je još poznatiji pod arapiziranim nazivom “Almagest”.

 

AbuJa'far Muhammadibn MusaAl-KhwarizmiAbuJa'far Muhammadibn MusaAl-Khwarizmi, rodđen je oko 780 godine u Bag dadu(danasnji Irak), a umro je oko 850. Ostace zapamćen po tome sto je slučajno dao svoje ime algoritmu, dok je reč aljabar koja se javlja kao naslov jedne njegove knjige preteča danasnje reci algebra. U ‘algebri’ ovog starog arapskog matematičara o izračunavanju obima kruga čitamo ove redove: “Najbolji način je da se prečnik pomnoži sa 3 1/7. To je najbrži i najlakši nacin. Alah zna za bolje.”

 

Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi
Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi je rođen oko 1380 u Kasanu, Iran, a umro je 22 juna 1429 u Samarkandu, (današnji Uzbekistan).U julu 1424 godine on je objavio “Raspravu o obimu kruga”, rad u kome je izračunao 2p do devet decimala u sistemu brojeva čija je osnova 60 (sistemu koji su za zapis brojeva koristili stari Vavilonci, a koji je i do danas opstao u upotrebi pri izražavanju vremena i merenju uglova). Ako njegov račun prevedemo na današnji dekadni sistem zapisa brojeva vidimo da je vrednost p bila izrazena sa 16 decimalnih mesta.To je bilo dostignuće daleko ispred svega što je do tad postignuto, čak i u usporedbi sa antičkim Grcima (Arhimed) ili u odnosu na Kineze (Tsu Ch’ung Chi). Takođe važno je napomenuti da je tek nakon 200 godina Ludolph van Ceulen uspeo da nadvisi al-Kashi-a brizljivim računom sa 20 decimala.

François Viète  François Viète, rođen je 1540 u današnjem Vendeu, Francuska, a umro je 13 decembra 1603 u Parizu. Iako nikad nije bio profesionalni matematicar, on je ipak ‘očitao lekciju ‘ matematčarima. Tako se, tokom 1592 godine on bavio problemima tadašnjih tvrdnji da se može izvršiti kvadratura kruga, podela ugla na tri dela i konstrukcija kocke duplo veće zapremine u odnosu na datu, korišćenjem samo lenjira i šestara. Rec je o tri klasicna matematička ‘problema’ kojima su se ljudi bavili vekovima. Za nas je zanimljiv problem kvadrature kruge, koji se ne moze resiti samo jednim lenjirom i šestarom, premda je zaista teško pokazati da treće ne postoji i nemogućnost je konacno dokazana tek 1882 godine. Viète je pokazao da su ‘dokazi’ koji su objavljeni ranije u toku te godine bili pogrešni. Nakon ovoga on objavljuje knjigu “Supplementum geometriae (1593), u kojoj se bavi opisom ova tri klasicna matematicka ‘problema’, ali i pokazuje konstrukciju tangente u svakoj tacki Arhimedove spirale. Takođe, u ovoj knjizi, on je izračunao p do 10 decimale koristeći poligon sa 6*216 = 393216 stranica. On je takođe predstavio p u vidu beskonačnog proizvoda,to je, kako je danas poznato, najranije predstavljanje broja p kao beskonacčog. Izrazen u našoj simbolici ovaj proizvod izgleda ovako:
2/p=cos(p/4)*cos(p/8)*cos(p/16)*cos(p/32)

Adriaan van Roomen, rodjen je 29 septembra 1561 u Louvainu, Belgija, a umro je 4 maja 1651 u Mainzu, Nemačka. Jedan od njegovih najinpresivnijih rezultata bio je izračunavanje broja p sa 16 decimalnih mesta. On je to uradio 1593 godine koristeći 230 -stranicni poligon. Roomen-ovo interesovanje za p bilo je direktna posledica njegovog prijateljstva sa Ludolph van Ceulen-om.
Ludolph van Ceulen
Ludolph van Ceulen rođen je 28 januara 1540 godine u Hildsheimu, Nemačka, a umro je 31 decembra 1610 u Lejdenu, Holandija. Postao je slavan zbog njegovog izračunavanja broja p sa 35 decimalnih mesta, do koga je došao koristeći poligon sa 262 stranica. Proveo je veći deo svog života ra.unajući p i zato ne čudi istorijski podatak da je 35 decimala broja p ugravirano na njegovoj nadgrobnoj ploči u crkvi St. Peter’s Church u Lajdenu. Poznato je da je u Nemackoj broj p dugo zvan Ludolfov broj, upravo njemu u čast.

     

Evropska renesansa dovodi do novog pogleda na ceo novi matematiči svet. Kao jedan od prvih efekata ovog ponovnog buđnja jeste svakako pojavljivanje matematicke formule za p. Jedna od najranijih bila je Wallis-ova formula, kojom je on utvrdio da se broj p moze približno predstaviti   pomoću beskrajnog proizvoda
2/p = (1*3*3*5*5*7*. ...)/(2*2*4*4*6*6* ...)
John WallisJohn Wallis je rođen23 novembra 1616 godine u Ashordu,Kent u Engleskoj, a umro je 28 oktobra 1703 u Oksfordu. U svojoj knjizi“Aritmetika beskonacnih veličina (Arithmetica infinitorum) (1656) između ostalog objavio gore pomenutu formulu za broj p. Ovaj profesor geometrije na Oksfordu u svojoj knjizi počinje da primenjuje umesto antičke geometrije, “novu” antimetiku (algebru). Wallis je bio prvi matematičar kome je uspelo da algebra preraste u analizu Otkrio metod računanja vrednosti p pronalazeći površinu kvadranta kruga.Neka svedočenja govore da je sličan metod korišćen u Japanu krajem 17 veka.Kvadrant kao deo kruga ima površinu od p/4. Nalazeći tu površinu , može se doći do vrednosti p.

 

 

 

 

 

 

Na slici je obojena sivom bojom oblast na kojoj je Wallis radio
U modernom matematičkom izražavanju, ono na čemu je Wallis radio bi izgledalo ovako:     
Dakle, Wallis je korišćenjem indukcije i interpolacije došao do onoga što je poznato pod nazivom: Wallisova formula . Wallisova formula je neobična po tome što je prva predstavila p kao beskonačan broj, a pri tom ne koristivši iracionalne brojeve, kao kvadrtni koren.
Jedna od najpoznatijih formula za broj p takođe je deo evropske renesanse,a glasi 
(*)….p/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ....
Gottfried Wilhelm von LeibnizOva formula se često pripisuje Leibniz-u, mada je neki pripisuju i škotskom matematičaru James Gregory.
Gottfried Wilhelm von Leibniz rođen je 1 jula 1646 u Lajpcigu,Nemacka, a umro je 14 novembra 1716 u Hanoveru,Nemačka. Njegovi engleski prijatelji, pričali su mu o Merkatorovoj kvadraturi hiperbole- jedan od ključeva koji je poslužio Njutnu pri pronalasku diferencijalnog računa. Na temelju toga Leibniz je pronašao metodu beskonačnih redova, koju je razvio.Jedan od njegovih pronalazaka je ,kao što smo već napomenuli i formula (*). Ova formula nije praktičan način izračunavanja vrednosti  p (3,1415926…) , ali je upadljiva jednostavna veza izmedju p i svih neparnih brojeva.
LeibnizJames Gregory rođen je novembra 1638 u Aberdenu, Škotska, a umro je oktobra 1675 u Edinburgu,Škotska.Radio je kao bibliotekar u Univerzitetskoj biblioteci.U svom radu” Geometrijski radovi “ukazao je na činjenicu “šta možemo izračunati.”Na taj način je uveo nizove u izračunavanje broja π. Njegov niz za arc tg x,

j= tgj-(1/3)*tg3j+(1/5)*tg5j otkriven 1671 godine,daje za x=1

p/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ....
Obe ove formule , Wallis-ova i nazovimo je Leibniz – Gregory-va, dramatično su i zadivljujuce otkriće, posto su s jedne strane kompletno aritmetičke u svom karakteru, dok je poznato da p potiče iz geometrije. One pokazuju iznenađujući rezultat koji beskonačan proces moze da dostigne i deo su puta koji vodi do bogastava i izobilja moderne matematike.

Sa tačke gledišta računanja vrednosti p, uzgred, nema nikakve koristi od ovih formula. U Gregory -vim nizovima , na primer, da bismo dobili četiri decimalna mesta, tačno izračunata, potrebna nam je greška manja od 0.00005=1/20000, a to  znači da nam je potrebno 10000 članova niza. Uzgred, Gregory je pokazao uopšteniji rezultat
(3) . . . tg-1 x = x - x3/3 + x5/5 - ... (-1< x < 1)
u kome se prvi niz dobija kao rezultat, ako stavimo x=1. Tako koristeći činjenicu da je
tg-1(1/Ö3) = p/6,  dobijamo
p/6 = (1/Ö3)(1 - 1/(3*3) + 1/(5*3*3) - 1/(7*3*3*3) + ...
niz koji konvergira mnogo brže. Deseti član je 1/(19*39Ö3),  koji je manji od 0.00005, i tako mi imamo najmanje 4 decimalna mesta korektno izračunata nakon samo 9 članova niza.

Jos bolja ideja je koristiti formulu

(4) . . . p/4 = tg-1(1/2) + tg-1(1/3)
i onda računati dva niza koji se dobijaju ako u (3) x zamenimo u prvom slučaju sa 1/2  i u drugom slučaju sa 1/3. Uskoro uviđamo vrlo brzu konvergenciju, ustvari mi mozemo postaviti formulu koja bi glasila otprilike ovako
p/4 = tg-1(1/a) + tg-1(1/b)
za a i b veliko. Godine 1706 Masin je pronašao formulu:
(5) . . .p /4 = 4 tg-1(1/5) - tg-1(1/239)
U stvari ova formula i nije tako teška za dokazivanje , ako poznajete dokaz formule (4) onda ovde nema nekih većih poteškoca oko (5). Smisliti to je svakako sasvim druga stvar.

Sa ovakvom formulom ostaje još samo jedna poteškoca u izračunavanju p , a to je savršeno dosadan proces računanja. Potrebno je reći, da je par ljudi bilo dovoljno lucidno da odvoje beskrajno mnogo vremena i priušte ovaj dosadan i u potpunosti beskoristan račun. Jedan od njih, englez William Shanks,(rodjen 25 januara 1812 godine u Northumberland-u u Engleskoj, umro je 1882 godine u Durhamu, Engleska) koristio je Mašinovu formulu da izračuna p do 707 decimalnog mesta, i objavio je rezultate svog mnogogodisnjeg rada 1813 godine. Shanks je dostigao besmrtnost zbog veoma čudnog razloga koji ćemo sada objasniti.

1873: Shanks izračunava 707 mesta od kojih je 527 tačno

Shanks je znao da je p iracionalan broj posto je to dokazao 1761 Lambert. Ubrzo nakon Shanks-ovog računa pokazano je od strane Lindemann-a da p je transcedentalan , odnosno, p nije rešenje nijedne polinomske jednakosti sa celim koeficijentima.

Georg Freiherr von Vega rođen je 23 marta 1754 u Zagorici, kraj Ljubljane (Slovenija), a umro je 26 septembra 1802 u Beču (Austrija). On je izračunao p do 136 decimale. Svoj rad objavljuje 1789 godine. Ostaće zapamćeno u istoriji matematike da se taj rekord održao 50 godina.

Carl Louis Ferdinand von LindemannCarl Louis Ferdinand von Lindemann rođen je 12 aprila 1852 u Hanoveru, današnja Nemačka, a umro je 6 marta 1939 u Minhenu, Nemačka. Njegovi glavni radovi bili su iz oblasti analize i geometrije. Svoju slavu postigao je dokazom da je p transcedentalan. Ustvari ovaj rezultat do kog je došao Lindemann pokazao je da “kvadratura kruga”, klasični matematicki problem postavljen još za vreme anticke Grčke, nije moguća. Problem kvadrature kruga, jedan od tri klasična problema grčke matematike, vekovima je privlačio interesovanje mnogobrojnih ‘matematičara’.Čak je broj (netačnih) dokaza kvadrature kruga postao toliko veliki da je 1775 Pariska Akademija smatrala da je neophodno doneti rezoluciju po kojoj neće pregledati više nijedno resenje. Lindemann, svoj rad objavljuje u časopisu “Über die Zahl p (1882).

Vrlo brzo posle Shanks-ovog računa čudna statistička zanimljivost primećena je od strane De Morgan, koji je pronašao da u poslednjim od tih 707 decimala postoji čudan nedostatak sedmica. On je to pomenuo u svojoj knjizi “Skup paradoksa” 1872 godine i radoznala javnost je na nju podsećana do 1945 godine kada je Ferguson otkrio da je Shanks napravio grešku na 528 mestu, nakon čega su sve njegove decimale bile pogrešne. 1949 upotrebljen je kompjuter da izračuna p do 2000 mesta. U ovom i svim kasnijim kompjuterskim računanjima broj sedam ne razlikuje se mnogo od očekivanog, i zaista doslednost decimala je do sad prošla sve statisticke testove slucajnosti.

Treba da kažemo nešto i o poreklu zapisa p . Oughtred je 1647 koristio simbol d/p za odnos prečnika kruga i obima kruga. Gregory David (1697) je koristio p/r za odnos obima kruga i njegovog prečnika. Prvi koji je koristio p sa njegovim sadašnjim značenjem bio je Velški matematičar William Jones (rođen 1675,Vels, a umro je 3 jula 1749 u Londonu) 1706,kada je on koristio 3.14159 …=p. Euler(15 aprila 1707, Basel, Švajcarska-18 septembra 1783 Sankt Petesburg, Rusija) je prihvatio ovaj simbol 1737 i ubrzo to je postao standardni način zapisa.

A zašto baš π ?

 Zato što je to početno slovo grčke reči περιφέρεια 
što znači obod, a matematički obim (dužina) kružne linije .

  

Hronološki prikaz računanja broja π


matematičar

datum

dec.
mesta

komentar

1

Rhind papyrus

2000 p.n.e.

1

3.16045 (= 4(8/9)2)

2

Archimedes

250 p.n.e.

3

3.1418

3

Vitruvius

20 p.n.e.

1

3.125 (= 25/8)

4

Chang Hong

130

1

3.1622 (= sqrt10)

5

Ptolemy

150

3

3.14166

6

Wang Fan

250

1

3.155555 (=142/45)

7

Liu Hui

263

5

3.14159

8,

Tsu Ch'ung Chi

480

7

3.141592920 (= 355/113)

9

Aryabhata

499

4

3.1416 (=62832/2000)

10

Brahmagupta

640

1

3.1622 (= sqrt10)

11

Al-Khwarizmi

800

4

3.1416

12

Fibonacci

1220

3

3.141818

13

Madhava

1400

11

3.14159265359

14

Al-Kashi

1430

14

3.14159265358979

15

Otho

1573

6

3.1415929

16

Viète

1593

9

3.1415926536

17

Romanus

1593

15

3.141592653589793

18

Van Ceulen

1596

20

3.14159265358979323846

19

Van Ceulen

1596

35

3.1415926535897932384626433832795029

20

Newton

1665

16

3.1415926535897932

21

Sharp

1699

71

 

22

Seki Kowa

1700

10

 

23

Kamata

1730

25

 

24

Machin

1706

100

 

25

De Lagny

1719

127

samo  112 tačno

26

Takebe

1723

41

 

27

Matsunaga

1739

50

 

28

von Vega

1794

140

samo 136 tačno

29

Rutherford

1824

208

samo 152 tačno

30

Strassnitzky, Dase

1844

200

 

31

Clausen

1847

248

 

32

Lehmann

1853

261

 

33

Rutherford

1853

440

 

34

Shanks

1874

707

samo 527 tačno

35

Ferguson

1946

620

 

 

BUFFON-OV EKSPERIMENT I DRUGE ZANIMLJIVOSTI

VEZANE ZA BROJ π

Georges Louis Leclerc Comte de BuffonUpoznaćemo se sa jednom zanimljivom statističkom neobicnosću o računanju broja p, koja se zove Buffon-ov eksperiment sa ‘iglama’. Georges Louis Leclerc Comte de Buffon (rodjen je 7 septembra , umro je 16 aprila 1788 u Parizu, Francuska) , direktor Pariskog kraljevskog vrta, ostaće dakle upamćen po svom eksperimentu . Legenda kaze da je on prvo bacao parčiće francuskog hleba sa svog ramena na popločani pod i brojao je broj slučajeva kada bi parče palo na liniju između ploča. Kasnije nastaje eksperiment, tzv. problem igle, za koji su se mnogi interesovali, pošto je pružao mogućnost da se eksperimentalno odredi vrednost broja p na taj način sto se igla baca na ravan koja je pokrivena paralelnim i podjednako udaljenim pravama, brojeći koliko puta igla padne tako da seče neku od tih pravih.
Iscrtajmo na podu sobe niz paralelnih duzi tako da međusobno rastojanje tih duži bude jednako dužine igle.Ne pomerajući se izvodimo  nasumično ispuštanje igle na pod.Odnos broja igala koje ne seku paralelne duži i one koje seku paralelne duzi je π/2.

Na slici je dato kako izgleda to nasumično bacanje igle 

 
Resize of g1 

Verovatnoća da ce igla duzine k<a, gde je a rastojanje između dve paralelne prave, pasti tako da seče neku od pravih je 2k/pa. Da bismo rešili ovaj problem , koji pripada oblasti geometrijske verovatnoće, poslužićemo se slikom (a). Neka je C središte igle. Označimo sa x rastojanje tačke C do najbliže prave i sa a ugao koji igla zaklapa sa familijom paralelnih pravih. Tacka (a,x) može se nalaziti u pravougaoniku
D={(a,x)| 0< a <p Ù 0< x< a/2}
Da bi igla sekla jednu od pravih, tačaka (a,x) mora se nalaziti u oblasti
D1= {(a,x)| 0<x<(k/2)*sin a Ù 0<a<p}
Trazena verovatnoća p jednaka je količniku površina oblasti D1 i D (kao sto slika (b) pokazuje). Ove površine su jednake SD=ap/2 i
SD1= 0òp (k/2)*sin a da= (K/2)*cos a/0p=k

Te je p= SD1/ SD= 2k/pa.

Ako se eksperiment ponovi všse stotina puta, odnos povoljnih ishoda m (t.j. preseka igle i prave) i ukupnog broja eksperimenata n daje vrednost koja je priblizno jednaka gornjem razlomku, t.j. 2k/[email protected]/n. Odavde je [email protected](n/m)*(2k/a).

Buffon tvrdi da se na taj način, bez ikakvih predstava o geometriji, pa cak i o krugu, moze odrediti broj p ako se bacanje igle strpljivo ponavlja mnogo puta. Ovaj eksperiment izazvao je mnogobrojne diskusije među matematičarima koje su pomogle u razumevanju verovatnoće.

Jedan broj matematičara je pokušao da izračuna p bacajuci ‘igle’. Godine 1850 Volf je izvšsio 5000 bacanja i dobio vrednost 3.1596, Smit (1855) je našao 3.1553 (3204 eksperimenta), Foks(1894) je dobio 3.1419 (1120 eksperimenata). Najspektakularniji rezultat dobio je Lazzerini  (1901), kada je bacio 34080 i dobio da je
p=355/113 = 3.1415929
što se sasvim slucajno poklapa sa vrednosću koju je pronasao Tsu Cung Ci. Ovaj rezultat je sumnjivo dobar, i igra je prekinuta kod neobičnog broja bacanja. Povodom ovog poslednjeg rezultata A.N.Zajdel je u popularnom časopisu Sovjetske Akademije nauka Kvant (br. 5, 1983) napisao članak pod naslovom Obmanailizabluda u kome je izrazio sumnju u Lazzerini-ev rezultat. Naime, zbog neizbežnih grešaka pri merenju dužina a i d (makar to bio i hiljaditi deo milimetra), neidealnosti površine na koju se baca igla, raznih uticaja okoline, i nemogućnosti da se u potpunosti očuva isti kompleks uslova u toku čitavog ogleda, veoma je teško očekivati grešku manju od 0.001. U ovom radu Zajdel je pokazao da je greška pri eksperimentalnom određivanju broja p srazmerna reciprocnoj vrednosti korena iz broja eksperimenata. Prema ovom “zakonu 1/Ön”, da bi dobio vrednost broja p navedenu gore, Lazzerini  bi morao da vrši eksperimente citavih 4 000 000 godina!

Kendall i Moran komentarisali su da  se dobar rezultat postiže ako se zaustavi eksperiment u odgovarajućem momentu. Ali ako se unapred odredi broj bacanja, onda to nije nimalo podesan način izracuvanja broja p. Kendall i Moran komentarisali su da bi bilo bolje da odsečemo veliki krug od drveta i uzmemo metar da bismo pronašli obim kruga i njegov prečnik.

Kendall i Moran Još vise nameštajući eksperiment , Gridgeman, u članku kojim se ismevao Lazzerini-u  i ostalima, našalio se koristćci igle brižljivo birane duzine k=0.7857 (a=1), bacajući ih dvaput, i pogadjajući liniju jedanput. Njegova procena rezultata za p bila je na taj način data sa
2 x 0.7857 /p = 1/2
odakle je on dobio krajnje pohvalnu vrednost za p=3.1428. On naravno nije bio ozbiljan!

Gotovo je potpuno neverovatno da je definicija p , korisćena, kao jedan od izgovora, za rasisticki napad 1934 na eminentnog matematicara Edmund Georg Hermann Landau (rođen 14 februara 1877 u Brlinu, umro je 19 februara 1938 u Berlinu, Nemačka). Landau je definisao p u svom udzbeniku objavljenom u Göttingen-u te godine, metodom koja je danas jedva upotrebljiva, odnosno rekavšida je p/2 vrednost x između1 i 2 za koju  cos x nestaje. Ova u najmanju ruku akademska rasprava dovela je do otpušanja Landau sa katedre u Göttingen-u.

Ludwig Georg Elias Moses BieberbachLudwig Georg Elias Moses Bieberbach (rođen4 decembra,Goddelan, Nemačka, umro je 1 sept 1982), eminentni teoretičar brojeva koji je ponižavao samog sebe svojim rasistickim pogledima, dao je objašnjenje za Landau-ovo otpuštanje:
“Prema tome hrabro odbacivanje od strane Gotingenskog studentskog udruženja koje je veliki matematičar, Georg Hermann Landau, iskusio izazvano je, u konačnoj analizi, činjenicom da je ne-nemacki stil ovog coveka u njegovim istraživanjima i predavanjima nepodnošljiv nemačkoj svesti. Ljudi, koji su osetili kako pripadnici druge rase prevarom nameću njima strane ideje, moraju odbaciti profesore druge kulture.”

Godfrey Harold HardyGodfrey  Harold Hardy (rođen 7 februara 1877 , umro je 1 decembra 1947 u Engleskoj) odmah je replicirao Bieberbachu u objavljenom članku o posledicama ove ne-nemacke definicije p:
“ Ima mnogo nas, mnogo Engleza i mnogo Nemaca, koji kažemo neke stvari  tokom rata koje jedva da ozbiljno mislimo i sada nam je žao kada ih se setimo. Zabrinuti zbog svoje sopstvene pozicije, iz strah od zaostajanja za nadolazecom bujicom gluposti, odlučujemo se da po svaku cenu ne budemo prevaziđeni,sve ovo mogu biti prirodni ali ne i naročito herojski izgovori. Reputacija profesora Bieberbach–a ne dopušta takva objašnjenja njegovih izjava, i pronalazim da on zaista veruje da je to istina.”

Nije samo u Nemačkoj p predstavljalo problem. U USA vrednost p izrodila je vatrenu političku debatu. U državi Indiani godine 1897 Predstavnički dom blagonaklono gleda(dopušta) predlog zakona od strane delegata koji ih upoznaje sa novom matematičkom istinom.

Ako bude prihvaćeno od strane opšteg sabora drzave Indiane: Pronađeno je da je površina kruga jednaka kvadratu četvtrine obima kruga, kao sto je i površina kvadrata jednaka kvadratu jedne strane.”

Senat Indiane pokazao je malo više razuma i odlozio je na neodređeno usvajanje ovog ukaza. Kad bismo zaželeli da, na primer, izračunamo obim Zemljinog ekvatora s tacnosću do 1 cm pod pretpostavkom da znamo tačnu dužnu njegovog prečnika, onda bi nam za to bilo potpuno dovoljno da broj p uzmemo na svega devet decimala. Ako pak uzmemo dvaput više decimala (tj. 18), mozemo da izračunamo obim kruga čiji je poluprečnik jednak odstojanju Zemlje od Sunca, i to s greskom koja nije veća od 0,0001 mm (tj. Koja je 100 puta manja od debljine dlake).
Apsolutnu nekorisnost čak i prve stotine decimala broja p neobčno jasno je pokazao ruski matematičar Grave. On je izračunao da, ako zamislimo loptu čiji je poluprečnik jednak odstojanju Zemlje od Sunca, tj. 132*1010 km, tu loptu napunimo mikrobima smatrajući da u svakom kubnom milimetru ima po 1 bilion (1010 )mikroba i zatim sve te mikrobe poređamo duž jedne prave linije tako da je rastojanje svaka dva susedna mikroba opet jednako rastojanju Zemlje od Sirijusa, tada bi se, ako se pri tom broj p uzme na 100 decimala, uzimajući taj fantastični odsečak (tj. Rastojanje izmedju dva susedna mikroba) za prečnik kruga, obim tog gigantskog kruga mogao izračunati s mikroskopskom tacnosću- 1/1000000 mm. Tačno kaze francuski astronom Arago da “ u smislu tačnosti mi ne bismo dobili ništa ako bi između obima kruga i njegovog prečnika postojao odnos koji bi se mogao izraziti racionalnim brojem”.
Za obicno računanje s brojem p potpuno je dovoljno upamtiti prve dve decimale (3,14), a za tačniji račun prve četiri decimale (3,1416;za poslednju cifru uzimamo 6 umesto 5 zato sto za ovom dolazi cifra veća od 5).
Zanimljivo je da su na engleskom govornom području napravili šaljivu rečenicu koja služi da se zapamti redosled brojeva u zapisu p. Naime broj slova u svakoj reči ove recenice oznacava broj na toj poziciji u zapisu vrednosti p.

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard...:

3.14159265358979323846264...

BROJ π U ERI KOMPJUTERA

Simbolični matematički programi kao sto su Maple ili Mathematica mogu da izračunaju 10000 decimala broja p u momentu, i jos 20 000- 1 000 000 decimala u toku noći (rang zavisi od platforme koju poseduje sam računar).
Moguće je pronaći zapis od 1,25 miliona decimala broja p preko sajta ( anonymous ftp ) wuarchive.wustl.edu, u fajlu pi.doc.Z i pi.dat.Z koji se nalaze u poddirektorijumu doc/misc/pi. Braca Chudnovsky  iz Nju Jorka su izračunali 2 biliona decimala broja p na kućnom (homebrew) računaru.

Trenutni rekord broju izračunatih decimala delo je Yasumasa Kanada i Daisuke Takahashi sa Univerziteta u Tokiju. Reč je o 206 biliona decimala p (206,158,430,000 decimalnih mesta).
Evo kako je svoj račun p predstavio Yasumasa Kanada, sa Univerziteta u Tokiju.
Postoje tri esencijalne metode za računanje brojne vrednosti p sa mnogo decimala:
1.Jedna od najstarijih u upotrebi je uz pomoć rastućeg niza             
tg-1(x)=x-x3/3+x5/5-…
zajedno sa formulom kao što je
p= tg-1(1/5)-4* tg-1(1/239).
Taj račun daje oko 1.4 decimale po članu.

2.Druga formula koja je u upotrebi dolazi od Aritmeticke-Geometrije kroz račun. Odlčcan pregled tih formula je dat u knjizi “p i AGM”.  Njihova prednost je u tome sto udvostručuju broj decimala po iteraciji. Na primer, da bi se postiglo 1 000 000 decimala , oko 20 iteracija je sasvim dovoljno. Mana je zato sto su nam potrebni FFT tip udvostručavanja da bi smo dobili razumnu brzinu, i ovo nije baš tako jednostavno za programe.
Ramanujan
3. Treca dolazi od teorije kompleksnog množenja eliptičkih krivih, i otkrivena je od S. Ramanujan. Ovo daje velik broj prelepih formula ali najkorisnija je nedostajala Ramanujan i otkrivena je od strane Chudnovsky’s. Ona glasi ovako (pomalo modifikovana radi lakseg programiranja):
Set k_1 = 545140134; k_2 = 13591409; k_3 = 640320; k_4 = 100100025; k_5 = 327843840; k_6 = 53360;
Then pi = (k_6 sqrt(k_3))/(S), where
S = sum_(n = 0)^oo (-1)^n ((6n)!(k_2 + nk_1))/(n!^3(3n)!(8k_4k_5)^n)

Velika prednost ove formule je u sledećem

1)Ona konvergira linearno, ali vrlo brzo (preko 14 decimalnih mesta po članu)
2)Način na koji je napisana, sve operacije za izračuinavanje S su napisane vrlo jednostavno za programiranje. Upravo zbog toga konstanta 8k_4k_5  koja se pokazuje kao imenilac je napisana na ovaj način umesto 262537412640768000. Tako je Chudnovsky’s uspeo da izračuna nekoliko biliona decimala.

Jedna interesantna nova metoda predložena je od David Bailey, Peter Borwein and Simon Plouffe. Ona moze da izračuna  n heksadecimalnu decimalu p efikasno bez prethodne ( n-1) decimale. Metoda je bazirana na formuli:
pi = sum_(i = 0)^oo (1 16^i) ((4 8i + 1) - (2 8i + 4) - (1 8i + 5) - (1 8i + 6))
za O(n) vreme i O(log N) prostoru.

Evo kako izgleda 160 karaktera C programa, koje je napisao Dik T. Winter u CWI, koji racuna p do 800 decimalnih mesta.
inta=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;
main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;          for(;d=0,g=c*2;c=14,
printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a, f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}

Putem interneta (e-mail) Yasumasa Kanada komentarisući svoj prethodni rekord, od oko 50 biliona decimala, napisao sledeće :
“ Dragi π ljudi,
Došao je momenat kada mozemo objaviti novi svetski rekord vezan za p. Potrajalo je duže od našeg očekivanja. Skoro dve godine je prošlo od kad smo dobili novi svetski rekord sa 6,4 biliona decimala. Sada, imamo osam puta veći rekord od 6,4 biliona koji se nalazi u tekstu koji mozete dobiti putem anonymous ftp na 'www.cc.u-tokyo.ac.jp'
Yasumasa Kanada, Racunski centar,Univerzitet u Tokiju.”

      20 septembra 1999 godine Yasumasa Kanada objavio je novi rekored. Ovoga puta tzv. ‘Kanada laboratorija’(Kanada Laboratory), objavila je da su stigli do famoznog broja od 206,158,430,000  decimalnih mesta. I ovaj put svoj račun izveli su koristeći dve razlicite metode. Tacnije oni su izračunali
3*236=206 158 430 208decimalnih mesta, od čega im se račun poklopio za 206 158 430 16decimale.

Evo još jedna zanimljivost vezana za broj p. 707 decimala je ispisano na frizu okrugle sobe, posvećene broju p, u Palati otkrića u Parizu Palata je bila sazidana za veliku Svetsku izlož bu 1900.godine , baš kada je podignut i Ajfelov toranj.

Na sledećoj slici je soba broja π u palati otkrića.

 Soba broja p u palati otkrica

Izračunavanje π pomoću kompjutera

Matematičar

Daum         

Dec.mesta

Tip kompjutera

Ferguson

Jan 1947

710

Desk calculator

Ferguson

Sept 1947

808

Desk calculator

Smith, Wrench

1949

1120

Desk calculator

Reitwiesner

1949

2037

ENIAC

Nicholson, Jeenel

1954

3092

NORAC

Felton

1957

7480

PEGASUS

Genuys

Jan 1958

10000

IBM 704

Felton

Maj 1958

10021

PEGASUS

Guilloud

1959

16167

IBM 704

Shanks, Wrench

1961

100265

IBM 7090

Guilloud, Filliatre

1966

250000

IBM 7030

Guilloud, Dichampt

1967

500000

CDC 6600

Guilloud, Bouyer

1973

1001250

CDC 7600

Miyoshi, Kanada

1981

2000036

FACOM M-200

Guilloud

1982

2000050

 

Tamura

1982

2097144

MELCOM 900II

Tamura, Kanada

1982

4194288

HITACHI M-280H

Tamura, Kanada

1982

8388576

HITACHI M-280H

Kanada, Yoshino, Tamura

1982

16777206

HITACHI M-280H

Ushiro, Kanada

Okt. 1983

10013395

HITACHI S-810/20

Gosper

Okt. 1985

17526200

SYMBOLICS 3670

Bailey

Jan. 1986

29360111

CRAY-2

Kanada, Tamura

Sept. 1986

33554414

HITACHI S-810/20

Kanada, Tamura

Oct. 1986

67108839

HITACHI S-810/20

Kanada, Tamura, Kubo

Jan. 1987

134217700

NEC SX-2

Kanada, Tamura

Jan. 1988

201326551

HITACHI S-820/80

Chudnovskys

Maj 1989

480000000

 

Chudnovskys

Jun 1989

525229270

 

Kanada, Tamura

Juli 1989

536870898

 

Chudnovskys

Aug 1989

1011196691

 

Kanada, Tamura

Nov 1989

1073741799

 

Chudnovskys

Aug 1991

2260000000

 

Chudnovskys

May 1994

4044000000

 

Kanada, Tamura

June 1995

3221225466

 

Kanada

Aug 1995

4294967286

 

Kanada

Oct 1995

6442450938

 

Kanada, Takahashi

Aug 1997

51539600000

HITACHI SR2201

Kanada, Takahashi

Sept 1999

206158430000

HITACHI SR8000

 

Literatura:

  • http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html
  • http://www.cecm.sfu.ca/personal/jborwein/pi_talks.html
  • E.T.Bell: “Matematika- kraljica i ropkinja nauke”
  • J.Pereljman: “Zanimljiva geometrija”, Drustvo matematicara, fizicara i astronoma SR Srbije, Beograd, 1978.
  • Mrmak Mirjana: “Broj p - i na racunaru”, clanak “Matematicki list”, XX, 5, Beograd 1986.
  • Mica Mirkovic: “Poceci. Matematika starog Vavilona, Egipta i Kine”, clanak “Matematicki list”, XXIV, 2, Beograd 1989

 

PROČITAJ / PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
ASTRONOMIJA | BANKARSTVO I MONETARNA EKONOMIJA | BIOLOGIJA | EKONOMIJA | ELEKTRONIKA | ELEKTRONSKO POSLOVANJE | EKOLOGIJA - EKOLOŠKI MENADŽMENT | FILOZOFIJA | FINANSIJE |  FINANSIJSKA TRŽIŠTA I BERZANSKI    MENADŽMENT | FINANSIJSKI MENADŽMENT | FISKALNA EKONOMIJA | FIZIKA | GEOGRAFIJA | INFORMACIONI SISTEMI | INFORMATIKA | INTERNET - WEB | ISTORIJA | JAVNE FINANSIJE | KOMUNIKOLOGIJA - KOMUNIKACIJE | KRIMINOLOGIJA | KNJIŽEVNOST I JEZIK | LOGISTIKA | LOGOPEDIJA | LJUDSKI RESURSI | MAKROEKONOMIJA | MARKETING | MATEMATIKA | MEDICINA | MEDJUNARODNA EKONOMIJA | MENADŽMENT | MIKROEKONOMIJA | MULTIMEDIJA | ODNOSI SA JAVNOŠĆU |  OPERATIVNI I STRATEGIJSKI    MENADŽMENT | OSNOVI MENADŽMENTA | OSNOVI EKONOMIJE | OSIGURANJE | PARAPSIHOLOGIJA | PEDAGOGIJA | POLITIČKE NAUKE | POLJOPRIVREDA | POSLOVNA EKONOMIJA | POSLOVNA ETIKA | PRAVO | PRAVO EVROPSKE UNIJE | PREDUZETNIŠTVO | PRIVREDNI SISTEMI | PROIZVODNI I USLUŽNI MENADŽMENT | PROGRAMIRANJE | PSIHOLOGIJA | PSIHIJATRIJA / PSIHOPATOLOGIJA | RAČUNOVODSTVO | RELIGIJA | SOCIOLOGIJA |  SPOLJNOTRGOVINSKO I DEVIZNO POSLOVANJE | SPORT - MENADŽMENT U SPORTU | STATISTIKA | TEHNOLOŠKI SISTEMI | TURIZMOLOGIJA | UPRAVLJANJE KVALITETOM | UPRAVLJANJE PROMENAMA | VETERINA | ŽURNALISTIKA - NOVINARSTVO

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi